Frobenius Schur Indicator Forex

Twisted FrobeniusSchur Indikatoren für Hopfalgebren Daniel S. Sage. Maria D. Vega Department of Mathematics, Louisiana State University, Baton Rouge, LA 70803, Vereinigte Staaten erhielt 30. Juni 2011. Online verfügbar am 20. Januar 2012. Mitgeteilt von Nicols Andruskiewitsch Die klassischen FrobeniusSchur Indikatoren für endliche Gruppen sind Zeichensummen definiert für jede Darstellung und Beliebige ganze Zahl. Im vertrauten Fall trennt der FrobeniusSchur-Indikator die irreduziblen Darstellungen über die komplexen Zahlen in reelle, komplexe und quaternionische Darstellungen. In den letzten Jahren wurden mehrere Verallgemeinerungen dieser Invarianten eingeführt. Bump und Ginzburg, die auf früheren Arbeiten von Mackey aufbauen, haben Versionen dieser Indikatoren definiert, die durch einen Automorphismus der Gruppe verdreht sind. In einer anderen Richtung haben Linchenko und Montgomery FrobeniusSchur-Indikatoren für halbeinfache Hopf-Algebren definiert. In dieser Arbeit konstruieren die Autoren verdrillte FrobeniusSchur-Indikatoren für halbeinfache Hopf-Algebren, die alle oben genannten Indikatoren als Sonderfälle mit ähnlichen Eigenschaften aufweisen. Semisimple Hopf Algebra Charakter FrobeniusSchur Indikator Automorphismus Referenzen Ban97 P. Bantay Der FrobeniusSchur Indikator in konformer Feldtheorie Phys. Lette. B. Band 394. 1997. pp. 8788 Ban00 P. Bantay FrobeniusSchur-Indikatoren, die Klein-Flaschenamplitude und das Prinzip der Orbifold-Kovarianz Phys. Lette. B. Band 488, 2000, S. 207210 BG04 D. Bump. D. Ginzburg Generalisierte FrobeniusSchur-Zahlen J. Algebra. Band 278. 2004. pp. 294313 BGG76 J. Bernstein. I. Gelfand. S. Gelfand Modelle der Darstellungen kompakter Lie-Gruppen Funct. Anal. Appl. Band 9. 1976. S. 322324 DNR00 S. Dsclescu. C. Ntsescu. S. Raianu Hopf Algebras: Ein Einführung Grad. Texte in der Mathematik. Volumen Vol. 235. 2000. Marcel Dekker, New York FS06 F. G. Frobenius. I. Schur ber die Darstellungen der endlichen Gruppen Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin. 1906. pp. 186208 Kas03 Y. Kashina Auf halbeinfachen Hopf-Algebren der Dimension Algebr. Vertreten. Theorie. Band 6, Ausgabe 4, 2003. pp. 393425 KM90 N. Kawanaka. H. Matsuyama Eine verdrehte Version des FrobeniusSchur-Indikators und vielfältige freie Permutationsdarstellungen Hokkaido Math. J. Volume 19, 1990. pp. 495508 KP66 G. I. Kac. V. G. Paljutkin Endliche Ringgruppen Tr. Mosk. Matte. Obs. Band 15, 1966, S. 224261 KS08 N. Kwon. D. S. Salbei Unterrepräsentations-Semirings und ein Analogon von 6 j-Symbolen J. Math. Phys. Band 49. 2008. p. 063503 KSZ02 Y. Kashina. Y. Sommerhuser. Y. Zhu Selbstduale Module semisimple Hopf-Algebren J. Algebra. Band 257. 2002. pp. 8896 KSZ06 Y. Kashina. Y. Sommerhuser. Y. Zhu Auf höheren FrobeniusSchur-Anzeigen Mem. Amer. Mathe. Soc. Band 181. Ausgabe 855. 2006 viii65 pp Lar71 R. G. Larson Charaktere von Hopf algebras J. Algebra. Band 17. 1971. S. 352368 LM00 V. Linchenko. S. Montgomery Ein FrobeniusSchur-Theorem für Hopfalgebren Algebr. Vertreten. Theorie. Band 3. 2000. pp. 347355 LR88 R. G. Larson. D. E. Radford Finite dimensionale cosemisimple Hopf Algebren in charakteristischen 0 sind halbeinfache J. Algebra. Band 117, 1988. pp. 267289 Mac58 G. W. Mackey Multiplizität freie Darstellungen endlicher Gruppen Pacific J. Math. Band 8. 1958. pp. 503510 Mas95 A. Masuoka Semisimple Hopf-Algebren der Dimension 6, 8 Israel J. Math. Band 93, 1995. pp. 361373 NS07a S.-H. Ng. P. Schauenburg FrobeniusSchur Indikatoren und Exponenten der sphärischen Kategorien Adv. Mathe. Band 211. Ausgabe 1. 2007. Seiten 3471 NS07b S.-H. Ng. P. Schauenburg Höhere FrobeniusSchur-Indikatoren für zentrale Kategorien Hopf-Algebren und Verallgemeinerungen. Vergleichsbeispiel Mathe. Volumen Vol. 441. 2007. Amer. Mathe. Soc. Vorsehung, RI. S. 6390 NS08 S.-H. Ng. P. Schauenburg Zentrale Invarianten und höhere Indikatoren für semisimple Quasi-Hopf-Algebren Trans. Amer. Mathe. Soc. Band 360. Ausgabe 4, 2008. pp. 18391860 NS10 S.-H. Ng. P. Schauenburg Kongruenz-Teilkonzerne und verallgemeinerte FrobeniusSchur-Indikatoren Comm. Mathe. Phys. Volume 300. Issue 1. 2010. pp. 146 Sha60 W. T. Scharfe Racah Algebra und die Kontraktion von Gruppen 1960. Atomische Energie von Kanada Limited, Chalk River, ON SZ08 Y. Sommerhuser. Y. Zhu Hopf-Algebren und Kongruenz-Untergruppen arXiv: 0710.0705v2 math. RA. 2008 Die Forschung der Autoren wurde teilweise unterstützt durch die NSF-Zuschuss DMS-0606300 und NSA gewähren H98230-09-1-0059. Copyright 2012 Elsevier Inc. Alle Rechte vorbehalten. Zitieren von Artikeln () FrobeniusSchur-Indikator Quelle: en. wikipedia. orgwikiFrobeniusSchurindicator Aktualisiert: 2014-05-05T11: 35Z In der Mathematik der Schur-Indikator. Benannt nach Issai Schur. Oder FrobeniusSchur-Indikator beschreibt, welche invariante Bilinear eine gegebene irreduzible Darstellung einer kompakten Gruppe auf einem komplexen Vektorraum bildet. Es kann verwendet werden, um die irreduziblen Darstellungen kompakter Gruppen auf reellen Vektorräumen zu klassifizieren. Definition Wenn eine endlich-dimensionale zusammenhängende komplexe Darstellung einer kompakten Gruppe G ihren Charakter hat, wird ihr FrobeniusSchur-Indikator für das Haarmaß mit (G) 1 definiert. Wenn G endlich ist, ist sie gegeben durch Der FrobeniusSchur-Indikator ist immer 1, 0 oder -1. Sie liefert ein Kriterium für die Entscheidung, ob eine irreduzible Darstellung von G reell, komplex oder quaternionisch ist, in einem spezifischen, nachstehend definierten Sinne. Im Folgenden diskutieren wir den Fall der endlichen Gruppen. Aber das allgemeine kompakte Gehäuse ist völlig analog. Echte irreduzible Darstellungen Es gibt drei Arten von irreduziblen reellen Darstellungen einer endlichen Gruppe auf einem reellen Vektorraum V. Da der Endomorphismusring, der mit der Gruppenwirkung austritt, isomorph zu den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen oder den Quaternionen sein kann. Wenn der Ring die reellen Zahlen ist, dann ist VC eine irreduzible komplexe Darstellung mit dem Schurindikator 1, auch als reelle Darstellung bezeichnet. Wenn der Ring die komplexen Zahlen ist, dann hat V zwei verschiedene konjugierte komplexe Strukturen, die zwei irreduzible komplexe Darstellungen mit dem Schur-Indikator 0, manchmal auch komplexe Repräsentationen genannt, ergeben. Wenn der Ring die Quaternionen ist. Dann wählt man aus einer zu den komplexen Zahlen isomorphen Untermenge der Quaternionen V in eine irreduzible komplexe Darstellung von G mit dem Schur-Indikator 1, einer quaternionischen Darstellung. Darüber hinaus kann jede irreduzible Darstellung auf einem komplexen Vektorraum aus einer einzigartigen irreduziblen Darstellung auf einem reellen Vektorraum in einer der drei oben genannten Möglichkeiten konstruiert werden. Das Kennen der irreduziblen Darstellungen auf komplexen Räumen und deren Schur-Indikatoren erlaubt es, die irreduziblen Darstellungen auf realen Räumen abzulesen. Realdarstellungen können komplexiert werden, um eine komplexe Repräsentation der gleichen Dimension zu erhalten, und komplexe Repräsentationen können in eine reelle Darstellung der zweifachen Dimension umgewandelt werden, indem die Real - und Imaginärkomponenten separat behandelt werden. Da auch alle endlich-dimensionalen komplexen Darstellungen in eine einheitliche Darstellung umgewandelt werden können. Für unitäre Darstellungen ist die Dualdarstellung auch eine (komplexe) konjugierte Darstellung, weil die Hilbert-Raumnorm eine antilineare bijektive Karte von der Darstellung zu ihrer dualen Darstellung liefert. Eine selbstduale, komplexe, irreduzible Darstellung entspricht entweder der reellen, nicht reduzierbaren Darstellung der gleichen Dimension oder der reellen, nicht reduzierbaren Darstellung der doppelten Dimension quaternionische Repräsentationen (nicht aber beides) und nicht-zweidimensionale irreduzible Darstellung einer echten, nicht zweidimensionalen Darstellung Dimension. Anmerkung für den letzteren Fall, sowohl die komplexe irreduzible Darstellung und ihre duale geben die gleiche reale nicht reduzierbare Darstellung. Ein Beispiel für eine quaternionische Darstellung wäre die vierdimensionale reelle irreduzible Darstellung der Quaternionsgruppe Q 8. Invariante Bilinearformen Ist V der zugrundeliegende Vektorraum einer Repräsentation, so kann man sie als direkte Summe zweier Subrepräsentationen, des symmetrischen Tensors und des antisymmetrischen Tensors abbilden. Sind die Anzahl der Kopien der trivialen Darstellung in jeweils. Wenn V eine irreduzible Darstellung ist, enthält sie genau eine Kopie der trivialen Darstellung, wenn V äquivalent zu ihrer Doppeldarstellung ist und keine Kopien sonst. Für den ersteren Fall kann die triviale Darstellung entweder im symmetrischen Produkt oder dem antisymmetrischen Produkt liegen. Der FrobeniusSchur-Indikator einer irreduziblen Darstellung ist immer 1, 0 oder 1. Genauer: Es ist 0 genau dann, wenn die irreduzible Darstellung keine invariante bilineare Form hat, was äquivalent dazu ist, dass ihr Charakter nicht immer real ist. Es ist genau 1, wenn die irreduzible Darstellung eine symmetrische, invariante, bilineare Form hat. Dies sind die Darstellungen, die über die Realen definiert werden können. Es ist genau 1, wenn die irreduzible Darstellung eine schiefe symmetrische invariante bilineare Form aufweist. Dies sind die Darstellungen, deren Charakter real ist, aber nicht über die Realen definiert werden können. Sie sind weniger häufig als die beiden anderen Fälle. Höhere Frobenius-Schur-Indikatoren Wie bei jeder komplexen Repräsentation ist auch eine Selbstverschachtelung, für jede ganze Zahl n, auch eine Selbstverschlingung. Durch Schurs-Lemma wird dies ein Vielfaches der Identität für irreduzible Darstellungen sein. Die Spur dieser Selbstverschlingung nennt man den n-ten Frobenius-Schur-Indikator. Der ursprüngliche Fall des FrobeniusSchur-Indikators ist, dass für n 2. Der nullte Indikator ist die Dimension der irreduziblen Darstellung, der erste Indikator wäre 1 für die triviale Darstellung und Null für die anderen nicht reduzierbaren Repräsentationen. Es ähnelt den Casimir-Invarianten für Lie-Algebra irreduzible Darstellungen. Da jeder Repräsentant von G als Modul für C G und umgekehrt betrachtet werden kann, können wir in der Mitte von C G schauen. Dies ist analog zu der Betrachtung der Mitte der universal umhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Es ist einfach zu prüfen, dass es zum Zentrum von C G gehört, das einfach der Unterraum der Klassenfunktionen auf G ist. Referenzen G. Frobenius amp I. Schur, ber die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen (1906), Frobenius Gesammelte Abhandlungen Vol. III, 354-377. Jean-Pierre, Serre (1977). Lineare Darstellungen endlicher Gruppen. Springer-Verlag. ISBN 1600-387-90190-6. 160 Text ist unter der Creative Commons-Lizenz Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen verfügbar. Durch die Nutzung dieser Website erklären Sie sich mit den Nutzungsbedingungen und den Datenschutzbestimmungen einverstanden. Wikipedia ist ein eingetragenes Warenzeichen der Wikimedia Foundation, Inc. eine gemeinnützige Organisation.